分形理论的诞生--

分形理论的诞生

　　数学家曼德布劳特(B. B. Mandelbrot)经历了不平凡的潜心研究，于1975年出版了他的关于分形几何的专著《分形、机遇和维数》，标志着分形理论的诞生。

分形图简介

　　人们谈论分形，常常有两种含义。

　　其一，它的实际背景是什么？其二，它的确切定义是什么？

数学家研究分形，是力图以数学方法，模拟自然界存在的、及科学研究中出现的那些看似无规律的各种现象。在过去的几十年里，分形在物理学、材料科学、地质勘探、乃至股价的预测等方面都得到了广泛的应用或密切的注意，并且由于分形的引入，使得一些学科焕发了新的活力。数学上所说的分形，是抽象的。而人们认为是分形的那些自然界的具体对象，并不是数学家所说的分形，而是不同层次近似。

　　1985年，曼德布劳特获得Barnard奖章。这项奖励专门颁发给那些在物理科学或者其它自然科学中有重大贡献、有重大影响的人物。在每五年一次的获奖者名单中，有爱因斯坦、费米这样一批享誉世界的科学家,可见曼德布劳特的分形研究在科学上的地位和影响。1995年应中国科学界的邀请，曼德布劳特访问中国并进行演讲。

　　分形图形同常见的工程图迥然不同，分形图形一般都有自相似性，这就是说如果将分形图形的局部不断放大并进行观察，将发现精细的结构，如果再放大，就会再度出现更精细的结构，可谓层出不穷，永无止境。艺术家在分形画面的不同区域涂上不同的色彩，展现在我们面前的，将会是非常美丽的画面。

　　几乎在曼德布劳特获得Barnard奖章的同时，以德国布来梅大学的数学家和计算机专家H.Peotgen与P.Richter等为代表，在当时最先进的计算机图形工作站上制作了大量的分形图案；J. Hubbard等人还完成了一部名为《混沌》的计算机动画。接着，印刷着分形的画册、挂历、明信片、甚至T恤衫纷纷出笼。80年代中期开始，首先在西方发达国家，接着在中国，分形逐渐成为脍炙人口的词汇，甚至连十几岁的儿童也迷上了计算机上的分形游戏。我国北京的北方工业大学计算机图形学小组于1992年完成了一部计算机动画电影《相似》，这部电影集中介绍了分形图形的相似性，这也是我国采用计算机数字技术完成的第一部电影，获得当年电影电视部颁发的科技进步奖。

　　更多的人陶醉于分形，并非出自科学，而是倾心于分形之美。数学上的审美很难为一般人所理解：一大堆数字、公式、符号怎么体现出来呢？然而，计算机能让数学的某些内在的美直观呈现出来，给出其形式化的表达。分形作为一类例证，为数学理论与实践中所蕴涵的美，给出了一类精彩的注记。充分反映了数学科学中的简单、和谐、统一的内涵！

　　一方面，从来不以科学内容本身为主题的艺术创作，现在也大量引用“动力系统”、“迭代逼近”、“混沌吸引子”等科学术语，进而极力采用计算机绘图手段，创造出无比神奇的作品。由这一点出发，可以说，艺术家已经开始漫步于科学领地！

　　另一方面，一向以严肃表情面向读者的科学著作一反常态，书名也竟然浪漫起来：《The Beauty of Fractals》(分形之美)(1986),《Fractals Everywhere》(分形处处可见),《The Algorithmic Beauty of Plants》(植物算法中的美)(1990), ….大量精美的、显示分形的科学挂图，乔装打扮，在美术馆展厅登场，接受艺术鉴赏家的评头论足，科学家也从此跨入了神圣的艺术殿堂！

　　分形之美，往往须经计算机的处理才能表现出来的。今天，人们可以在网络上，浏览与欣赏各种不同风格的分形作品，有的针对科学研究中要表达的一些特别的对象，有的则完全是艺术。网络天地会给你提供许多、美妙惊奇的分形图画，令你心犷神怡，也有时令你眼花缭乱。

分形几何学

　　1973年，曼德布劳特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德布劳特创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

　　分形几何与传统几何相比有什么特点：

　　1.从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

　　2.在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

　　什么是分维？

　　在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

　　分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：

　　a^D=b, D=logb/loga

　　的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维数是1.2618……。

分形(Fractal)一词的由来

　　据曼德布劳特教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德布劳特一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德布劳特是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形图。

分形集的定义

　　1973年，曼德布劳特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德布劳特创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。曼德布劳特曾经为分形下过两个定义：

　　（1）满足下式条件

　　Dim(A)>dim(A)

　　的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

　　（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

　　然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。

　　（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

　　（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

　　（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

　　（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。

　　（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

数学与艺术的完美结合

　　有一段时间 google 的图标变成下面这个样子，很多人不明白，这是什么意思，其实这是为了纪念法国数学家Gston Julia是，他发现了在数论中有名的julia序列，就是在这个google LOGO上面看到的数学公式。通过这个数学公式可以在解析几何上实现很多不规则边的图形。学名叫作分形。我们在网上搜索了一些资料，为大家做一下分形这个图形学上的概念普及。

　　让我们来看下面的一个例子。下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。

　　如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。例如，在道琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。

　　上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。

　　　　除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。

　　　　不管你信不信，上面的这张月球表面的照片也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节。

　　Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，它们都具有严格的自相似特性（仔细看看，是不是这样？）。但是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以，用“具有自相似”特性来定义分形已经有许多局限了