五山湖杯数学建模大赛官方网站
设为首页
 
首 页 | 五山湖 | 数学建模 | 自然现象 | 思想源泉 | 木棉芒果 | 礼品收藏 | 珊瑚礁 | 百步梯 | 联系咨询
  当前位置:首页 > 博文精选 

数学建模的力量
发布日期:2012-2-26 23:15:04
 点击:2744
数学建模的力量
 
数学是自然现象的数字抽象。表面不相干的问题,当我们用数学理论来描述时,发现他们本质是共同的,这显然是数学的力量。你相信曲边梯形的面积问题与变速直线运动的路程问题是一个问题吗?你能理解远古森林中野兔数量增长问题与今天苹果手机销售数量问题是一个问题吗?你是否能感觉到英国伊丽莎白女王二世与你之间可以通过6个人来联系起来吗?大量的不同类型的实际问题其本质都抽象为一个数学模型,这正是数学建模的魅力和数学科学的目的作用。理解客观世界和掌握数学建模,你需要这些基本理论和基本方法,没有这些数学理论的提高,你不能真正认识自然界内在的规律和社会现象中最本质的特性。

 

实际问题抽象后得到的数学公式和数学运算,研究自身的法则和规律,单纯的演绎和运算属于数学研究的范围;当你仍然需要这些数学公式的背景和来源,这就是数学建模的内容。当你完成一部分实际问题抽象为数学模型的过程之后,你能体会这些数学模型在另外其他实际问题的意义吗?如果你可以用抽象的数学模型来理解另外一些实际问题,并用算法实现,这意味着你可以用数学建模解决实际问题。下面分别就离散模型和连续模型提出一个明确思路,尽快开展数学建模,用数学建模解决实际问题,最后用实例开拓数学建模解决实际问题的思路,说明数学建模的意义和感觉身边的数学模拟,阐述数学建模的力量。

 

 

 

1 离散数学建模的思路

 

(1)连接均匀介质两点和之间的最短距离-直线距离。离散模型最简单的情形是均匀介质情况下,寻找两点之间的最短距离,均匀意味着传递速度的恒定。显然,数学建模使用欧几里得距离就可以。


(2)连接从介质一点到其他介质一点之间的最短距离-折线距离。光线从空气到液体水的折射原理;在河流一侧的人从地点A,想达到河流对侧的地点B所选择的路线。传递出现两种介质的问题,对应两个不同的速度,此时,折线距离最近。注意很多想象不到的实际问题都属于这一类,如产品多环节销售的利润,谣言惑信息的多媒体传递后的真实等,只不过折线的意义要根据实际情况改变。


1 光线在不均匀介质的传播

 

(3)连接不均匀介质点到点的最短路线-曲线路径。物体在重力作用下,从点A移动到点B,在物体向下移动的过程中,移动速度不断加快,体现介质的不均匀特性,形成著名的最速下降问题。需要强调的是最速下降问题的算法是变分问题,数学理论和算法与前面情形(1),情形(2)两类问题的本质不同。


(4)两个点和分别移动的路线问题。这类问题已经演变为动态问题。森林中狮子追逐野猪,城市里警察抓小偷等都属于这类情况。

 

 

 

(5)连接均匀介质内三个点,和的最短路径。三个点的连接问题,理论上与Steiner树连线相关。更一般地,连接均匀介质内多个点的最短路径对应Steiner树理论问题,介质不均匀的情形很难处理。与Steiner树理论连接的建模问题十分丰富,电信网络营业点的选址问题,电路板的布线问题和心脏在人体心血管的位置等。更深入的理论研究显示,Steiner树问题与图论中的一个NP完全问题等价,空间情形的Steiner覆盖问题等。

 

 

 

 

 

 

(6)如果点与点的连接问题解决以后,自然形成节点连接的网络图,得到图论的理论和模型。跨越多个节点的两点之间的最短距离,可以用Dijkstra算法完成。经过每个节点的又回到原点的旅行商问题,最近英国伦敦大学的研究人员报告说,小蜜蜂显示出了轻而易举破解这个问题的能力。有多个城市的地图中,寻找一条从给定的起点到给定的终点沿途恰好经过所有其他城市一次的路径,得到经典的哈密顿圈问题。这些问题的理论,建模和算法已经构成图论数学建模的基础,其应用背景十分丰富。

 

 

 

3 连续数学建模的思路

 

(1)单个群体的指数增长和指数衰减。最简单的单个群体连续模型就是指数增长和指数衰减,如虫口数量增长用于预测,放射性化学元素含量的衰减用于古代名画的鉴定识别等。满足这样指数变化规律的现象很多,银行复利的计算,顾客满意度分析和牛顿冷却定律的描述等都属于这类指数变化情况。其缺点是大范围长时间的分析,导致累计误差增加。


(2)单个群体的Logistic增长-有上界和下界约束的增长变化问题。指数增长模型中,单个群体包含上限和下限的限制,或者增长率有环境界限。指数增长模型变化为Logistic增长模型,这样的模型几乎满足所有增长或递减的变化,如新产品的销售的数量,生态学中种群的数量和稀有金属资源的消耗量等。实际数据显示,轰动全国的富士康公司,自杀员工累计数量的时间变化,同样逃脱不了Logistic模型的魔咒。


(3)两个群体的扑食-食饵模型。单个群体的变化是Logistic模型的规律,两个群体添加相互竞争变化,则各自的规律满足扑食-食饵系统。这样包含单个群体连续增长和两类群体相互竞争变化的理论描述是Lotka-Volterra型捕食-食饵系统。美洲兔和山猫的数量变化,可口可乐和百事可乐相互竞争销售的数量,台湾国民党马英九和民进党蔡英文台湾总统竞选问题和美国和伊拉克的战争伤亡数量等问题都可以纳入这个范围。


(4)多个群体的竞争模型。单个群体的Logistic变化和两个群体的竞争模型时连续建模的基础,对多个群体相互竞争变化,模型描述为Gause-Lotka-Volterra多物种相互竞争模型。最常见的剪子-石头-布的古老游戏,复杂的现象有海洋你N种鱼类的共同生存问题。可以放在决策-对策的框架,也可以用多物种相互竞争来演化。

 

 

 

5)混合情形的反应-扩散模型,包含时间的变化率和空间的移动变化。群体的数量随时间变化满足上面的速率变化模型,如果物种群体包括空间的迁徙,模型不仅具有时间的变化,而且有空间的移动特性和相互竞争反应,对应的模型是时间反应和空间运动扩散模型。时间反应多数满足Logistic模型或Lotka-Volterra竞争模型;空间运动变化多满足Darcy扩散律,对应理论描述为空间扩散模型。这样包含时间和空间的情形更加符合实际,如东非高原上的野生动物大迁徙,走在前面的是20多万匹野斑马,紧跟其后的是百万头牛羚,殿后的是50万只瞪羚。跟随食草动物的后面,是成群结队你的非洲狮、猎豹等食肉动物,他们的数量变化可以用反应扩散模型描述,类似情形是外来动物对本地生态环境的破坏。比较成熟的实际问题是化学反应变化时,反应物的浓度变化,如环境污染现象。介于生命和非生命之间的有著名的Belousov-Zhabotinsky化学反应模型。


此外,随机现象的建模问题与上面离散和连续情形不同,他们从概率分布入手,到统计规律的描述,最后是假设检验和方差分析;物理现象的建模更加丰富,如典型的牛顿力学运动,电磁场现象和热能传导等;社会科学中的决策与对策,蛋糕分割和谣言传播等。这些建模问题都有一条从简单到复杂的清晰路线。

 

 

 

3 数学建模的创新

 

数学建模的创新包括数学方法创新和解决问题的思想创新两方面。数学方法的创新属于数学家的事情,下面用两个实际问题说明数学建模思路创新的过程。

 

 

 

(1)           六度分离问题。我们经常遇到这样的情形,大家一起聊天以后,发现我们总有一些联系,认识某一个中间人,都感觉这个世界太小。这个现象决不是偶然,最早的理论研究是六度分离实验。六度分离现象是哈佛大学的心理学教授Stanley Milgram在1967年作的实验:目的是研究社交网络中的最短路径。他设计60封信给堪萨斯州威奇塔市自愿参加者,请他们转交到马萨诸塞州剑桥市指定地点的股票经纪人。参加者只能把信交给他认为有可能把信送到目的地的熟人,可以亲自送或者通过他的朋友。Milgram发现完整的链平均长度为6个人,这就是著名的六度分离实验。

 

此后,社会交际中显示的六度分离现象,在大量的人类社会和自然现象中都显示出来。数学家们创立了Erdos数,通过发表论文合作者和著名数学界泰斗的远近。给每一个数学家赋予一个Erdos数:Erdos本人的Erdos数是0;曾与Erdos合作发表过文章的人的Erdos数是1;没有与Erdos合作发表过文章,但与Erdos数为1的人合作过的是2;以此类推形成数学家网络.类似地,Brett Tjaden设计了电影界的Bacon网络。他通过Kavin Bacon定义电影界的Bacon数:随便一个演员,如果他(她)和Kavin Bacon一起演过电影,那么他(她)的Bacon数就为1;如果他(她)没有和Bacon演过电影,但是和Bacon数为1的演员一起演过电影,那么他的Bacon数就为2;以此类推建立演员网络。不仅如此, 围棋中用秀策数来描述玩家和棋圣本因坊秀策之间的距离;美国西部各州供电网络;C. elegans神经系统网络和万维网节点连接等都是具有小世界特征的复杂网络结构。

 

 


3 线虫的神经系统结构

 

 

 

Erdős-Bacon数是一个人的Erdős数加上这个人的Bacon数,这个数刻画一个人的学术界和娱乐界的。下面是著名的学术-娱乐双栖明星的Erdős–Bacon数,这些你熟悉几个,自己计算一下自己的Erdős–Bacon数

 

 

 

1 学术与娱乐双栖明星Erdős–Bacon数

 





















































































































































姓名

Erdős

Bacon

Erdős–Bacon

Bayer, DaveDave Bayer

2

2

4

Billingsley, PatrickPatrick Billingsley

4

2

6

Davis, MartinMartin Davis

3

3

6

Dembski, William A.William A. Dembski

4

2

6

Denef, JanJan Denef

3

3

6

Diaconis, PersiPersi Diaconis

1

4

5

Erdős, PaulPaul Erdős

0

3

3

Feferman, SolomonSolomon Feferman

3

3

6

Feynman, RichardRichard Feynman

3

3

6

Joyce, AustinAustin Joyce

4

2

6

Foecke, TimTim Foecke

4

2

6

Hidalgo, CesarCesar Hidalgo

5

1

6

Hirschhorn, MikeMike Hirschhorn

2

2

4

Kleitman, DanielDaniel Kleitman

1

2

3

Lehrer, TomTom Lehrer

4

2

6

Marks II, Robert J.Robert J. Marks II

3

2

5

Matiyasevich, YuriYuri Matiyasevich

2

3

5

McKellar, DanicaDanica McKellar

4

2

6

Nash, JohnJohn Nash

4

2

6

Pell, BarneyBarney Pell

3

2

5

Poonen, BjornBjorn Poonen

2

3

5

Portman, NatalieNatalie Portman

5

1

6

Putnam, HilaryHilary Putnam

3

3

6

Scott, DanaDana Scott

3

3

5

Van Snellenberg, JaredJared Van Snellenberg

4

2

6

Wandell, BrianBrian Wandell

3

2

5

Warwick, KevinKevin Warwick

4

2

6

Werner, WendelinWendelin Werner

3

3

6

 

这些网络结构具有小世界网络的特征,也应该包含六度分离的特性,一个明显的问题是,六度分离现象可以被利用吗?这样的实际问题大量存在:

 

恐怖犯罪分子的追捕:根据六度分离现象,我们和恐怖分子的距离是6个人左右,怎么尽快找到他们,好像需要实现六度分离的算法。

 

失散亲人的寻找:由于各种原因,失散的亲人可能是儿童,也可能是老人,或者分离多年,杳无音信的朋友,我们的距离很近,如何跨越这6个人。

 

宠物寻找的难题:假若喜爱的宠物狗在大街走失,自然人与自然人的距离是六度分离,宠物狗与宠物狗之间是六度分离吗?自然人与宠物狗应该是两类不同介质,不均匀介质的距离应该是-“折线”连接。

 

寻物启示的解决:完全类似的思路,生命和非生命之间也有这样的分离模式吗?一个丢失证件的人与证件之间的距离是多少? 有类似六度分离的理论吗?


4 六度分离图

 

如果想使用六度分离现象解决实际问题,必须设计完成六度分离的算法,前面离散模型的算法可以使用吗?最近,雅虎首席执行官Duncan Watts和科学家Sharad Goel领导“雅虎的小世界实验”,想设计完成六度的算法问题,如果可以解决这个模型问题,必将产生新的科学领域,模型解决一类实际问题。这个算法问题的解决不是幻想,在今天的网络时代,完全可以尽快实现。

 

这个从社会现象到动物世界,继续涉及到生命和非生命的过程正是数学建模解决实际问题时,思路创新的过程。从复杂社会网络中抽象出六度分离现象是数学建模的第一个步骤,用六度分离现象研究社会网络之外的自然现象是数学建模的应用创新。

 

(2)           装箱问题。装箱问题的建模是经典的组合优化问题,一维情形下是线段分割问题,二维是平面切割问题,三维是空间装箱问题。三维装箱问题可再详细分成:箱柜装载问题,将不同类型的方型箱子装入规格统一的方型容器内,目标是要求箱子装入容器的数量最少。容器装载问题是所有箱子要装入一个不限尺寸的容器中,目标设计的方案使得容器体积最小。装箱问题的理论也是NP难问题。更高维的装箱问题是什么?如果箱子附加价值,装箱问题立刻成为背包装载问题,选择箱子的一部分装入容器中,使得装入容器中的箱子总价值最大,更一般的背包问题可以转化为运输问题。装箱问题的整数规划模型如下。


具有几何形态的装箱问题,大家比较容易理解,除此之外,很多问题隐含装箱的机制和原理,地球到底能够容纳多少人口,美国人口学家科恩的从生物圈能提供的食物量,计算地球能养活人数的极限是8000亿人口;太平洋到底能够承载多少鱼类;坦桑尼亚塞伦盖蒂大草原,一个有着300多万只大型哺乳动物的巨大生态系统,其生态环境到底能够生存多少野生动物,塞伦盖蒂的土地到底可以生长多少树木,形成多大规模的森林供野生动物生存;迪拜的哈利法塔有168层,设计为包含30,000户与9间饭店,请问哈利法塔到底能够最多容纳多少人工作居住,2012春节期间,广铁集团大概发送旅客3200万人,广铁集团春节的最大运输能力等问题,这些也同样满足装箱问题的机制原理。

 

 

 

 

 

6 算法的实现

 

数学建模刻画了实际问题的内在规律,但冰冷的公式不能被人类感知,模型公式背后的规律需要图形显示出来,模型与计算显示之间需要几个计算读懂的问题,即模型算法问题。无论连续模型或者离散模型,模型算法的实现十分复杂,其步骤的真正内涵体现或包含生物进化的意义。例如森林几个地方的花蜜,蜜蜂很快找到从蜂巢出发,飞行最短路径,经过几个采蜜地点后,又回到蜂巢的路径。这样图论中的哈密顿圈问题对应的算法实际就是蜜蜂算法。太阳光线,经过不均匀介质照射到海底,离散情形的折线路径与连续的最速下降曲线的算法,思路设计完全一致,这显然体现自然的进化已经包含优化的算法。


5 蜜蜂算法路线和蚂蚁算法路线

 

模型的算法是建模完成的基本环节,算法本质是自然界的进化规律。遗传算法和蚂蚁算法都体现动物的自然进化,神经网络包含自然界学习的成分,图论中的最短路径和模拟退火正是自然界尝试和优化,蒙特卡洛算法显然是随机现象最本质的具体实现。更复杂的算法如分支界定和动态规划的贪心算法等更体现一些算法技巧。

 

没有算法就没有数学建模的今天,也没有数学建模的未来。

 

 

 

7 数学建模的意义

 

数学建模的意义在那里?由于计算机技术的图形帮助,现在可以将数学模型的内涵通过算法表达出来,并且视觉图形展示出来。数学建模用两个突触功能。

 

(1) 模拟现实世界,自然现象的变化今天不用等待,当现象的本质规律建立模型后,我们可以计算机模拟世界。我们不必去南极或者北极,通过GOOGLEEARTH可以直接看到全球气候变暖后对冰雪融化的影响;美国政府在华盛顿可以在巴基斯坦直接袭击本拉登的住处。这些模拟的世界已经将数学建模作为全球变化的一部分。数学建模越来越深入我们的生活,建模模拟的世界已经成为真实世界的一部分。

 

(2) 重复不可实验的现象,很多自然现象你不可能真正看到,即便看到也只有一次。航天飞机的发射失败,美国和伊拉克的石油战争,汶川地震自然灾害对城市的毁坏等现象。一旦发生,不能再次重复。如果利用数学建模和计算机图像,你可以重新历史事件和关键时刻,你可以具体模拟再现这些情景,并分析研究以后的对策。数学建模重复不可实验的现象扩大了我们的视野,更深刻的了解世界变化。

 

   数学建模已经不是理论探讨,数学建模已经创造另外一个模型世界。

 

 

 

8 参考文献

 

[1]http://www.thewaythetruthandthelife.net/index/2_background/2-1_cosmological/2-1-09-0_refractive-index.htm

 

[2] http://www-users.cs.umn.edu/~karnad/research.html

 

[3] http://www.wormbook.org/chapters/www_specnervsys.2/neurogenesis.html

 

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Bacon_number

 

[5] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E7%B3%BB%E7%BB%9F

 

[6]http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AD%E5%BA%A6%E5%88%86%E9%9A%94%E7%90%86%E8%AE%BA

 

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Bees_algorithm

 

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Safari_ants.jpg

 

 

 

 
 
收 藏 推 荐 打 印 关 闭


最新录入  
 · 第一届“百农杯”数学建模竞赛...
 · A Microcircuit...
 · Burst firing t...
 · 第二届全国神经动力学会议回执
 · 第二届全国神经动力学会议论文...
 · 第二届全国神经动力学会议征文通知
 · 第二届全国神经动力学会议学术...
 · 第二届全国神经动力学会议(第...
 · 第二届全国神经动力学会议
 · 第二届全国神经动力学会议
相关内容   更多>>
 · 脊椎和脑的神经连接
 · 皮层中间神经元
 · 数学建模的力量
 · 蒲慕明给实验室学生讲的话
 · 遗传算法:内存中的进化
 · 线性规划的发展
 · 谁发现了时间?
 · 你能听到鼓的体积吗?
 · 为什么数学家将数学弄的这么复杂
 · 年龄大的表现
 
声明 | 报名须知 | 联系方式 | 五山湖 技术支持:郑州建网站 Copyright (c) 2011 All Rights Reserved.