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神经元模型的分岔分类
发布日期:2013-3-27 1:06:26
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分岔的本质是结构稳定性被破坏,分岔分类问题最早是描述向量场三个特性的 Kupka-Smale 定理: 双曲型平衡点 双曲型周期轨道 平衡点与周期轨道的稳定和不稳定流形横截相交 Kupka-Smale定理不同情形的失效,导致不同类型的分岔。分岔理论构造不同等级的分岔图,而每中情形包含更精细的模式。这些等级模式可以用分岔类型的余维数来刻画-定义为分岔发生的最小参数个数。等价地,余维数是刻画分岔的平等条件数目。余维数1分岔包含最高级的分岔类型。Kupka-Smale定理中一个条件失效,导致下列余维数分岔: Equilibria, Saddle-Node Bifurcation, Andronov-Hopf Bifurcation, Periodic Orbits, Fold Limit Cycle Bifurcation, Flip Bifurcation (aka Period Doubling bifurcation), Neimark-Sacker Bifurcation (aka Torus bifurcation), Global Bifurcations, Homoclinic Bifurcation of equilibria, Homoclinic tangencies of stable and unstable manifolds of periodic orbits, Heteroclinic Bifurcation of equilibria and periodic orbits, 这不包含所有的余维1分岔,其他类型可以在准周期振荡或 混沌动力学中出现. 更进一步, 有更细致的分类,如Andronov-Hopf分岔是亚临界或者超临界, 不同特征值的 homoclinic分岔等。 余维数增加时,分岔类型的分类更加复杂,“局部”余维2有5个类型的平衡点分岔。 Bautin Bifurcation, Bogdanov-Takens Bifurcation, Cusp Bifurcation, Fold-Hopf Bifurcation, Hopf-Hopf Bifurcation, 计算方法 数值计算是分岔理论最主要的动力学分岔分析工具,研究者确定分岔类型的主要方法是和标准型比较。一些计算软件包括(AUTO, CONTENT, MATCONT, XPPAUT, PyDSTol) 。软件计算的核心是牛顿法确定初值问题或者边值问题的标准型
 
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