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克莱因瓶
发布日期:2011-5-5 13:44:59
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克莱因瓶

三维空间中的克莱因瓶数学领域中,克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面,比如2维平面,就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构非常简单,一个瓶子底部有一个洞,现在延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。它也不类似于气球 ,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(所以说它没有内外部之分)。 

 数学领域中,克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面,比如2维平面,就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构非常简单,一个瓶子底部有一个,现在延长瓶子的,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。它也不类似于气球 ,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(所以说它没有内外部之分)。“克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的,因为最初用德语命名时候名字中“Fläche”是表面的意思。大概是误写为了“Flasche”,这个词才是瓶子的意思。不过不要紧,“瓶子”这个词用起来也非常合适。 在 1882年,著名数学家菲利克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的(也就是说没有边)曲面,但是它却只有一个面。在图片上我们看到,克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底,它的瓶颈被拉长,然后似乎是穿过了瓶壁,最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话,我们就会得到一个轮胎面(即环面)。

 我们可以说一个球有两个面——外面和内面,如果一只蚂蚁在一个的外表面上爬行,那么如果它不在

  

因球面上咬一个洞,就

无法爬到内表面上去。轮胎面(环面)也是一样,有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同,我们很容易想象,一只爬在“瓶外”的蚂蚁,可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分!在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型,而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果我们观察克莱因瓶的图片,有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的,换句话说,瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是:克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面,如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢?我们用扭结来打比方。如果我们把它看作平面上的曲线的话,那么它似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线,它并不和自己相交,而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样,这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模样;就好像最高明的画家,在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃吹制的克莱因瓶。好玩的是,如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去,竟会得到两个麦比乌斯圈

 

克莱因瓶与莫比乌斯带

  大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭180度,再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一莫比乌斯带、一个面的曲面,但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是,它有边(注意,它只有一条边)。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来,你就得到了一个克莱因瓶(当然不要忘了,我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合,否则的话就不得不把纸撕破一点)。同样地,如果把一个克莱因瓶适当地剪开来,我们就能得到两条莫比乌斯带。除了我们上面看到的克莱因瓶的模样,还有一种不太为人所知的“8字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同,但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面——克莱因瓶。

 

  实际上,可以说克莱因瓶是一个三度的莫比乌斯带。我们知道,在平面上画一个圆,再在圆内放一样东西,假如在二度空间中将它拿出来,就不得不越过圆周。但在三度空间中,很容易不越过圆周就将其拿出来,放到圆外。将物体的轨迹连同原来的圆投影到二度空间中,就是一个“二维克莱因瓶”,即莫比乌斯带(这里的莫比乌斯带是指拓扑意义上的莫比乌斯带)。再设想一下,在我们的三度空间中,不可能在不打破蛋壳的前提下从鸡蛋中取出蛋黄,但在四度空间里却可以。将蛋黄的轨迹连同蛋壳投影在三度空间中,必然可以看到一个克莱因瓶。

 

  附:克莱因瓶在三维空间中是破裂的,最少要有一个裂缝,如果有两个裂缝的话,它必然是两条部分相和连的莫比乌斯带,同样n条莫比乌斯带也可以组合成一个有n个裂缝克莱因瓶。

 

克莱因瓶与太极图

  克莱因瓶从上往下的投影即为太极图。 莫比乌斯带和克莱因瓶只是作为拓扑几何的著名范例而被充分研究,作为几何图形的性质它们是清晰、简单、甚至是优美的,但人们对它的所表达的事物性质却迷惑不解,几乎所有的数学家,哲学家,爱好者都对它的性质着迷,但难于理解这种简单的几何图象所表达的神秘性质:两个面如何是一个面?一个面又如何是两个面?它们是从形式的流变中的揭示了几何学的哲学,用几何学的方法表现了最深刻的哲学原理,这种西方哲学和几何学所未充分了解的秘密却在古代中国思想家中得到了充分的领悟。如果我们把莫比乌斯带和克莱因瓶进一步进行抽象的综合,即去掉它们的空间性质,我们可以得到一个更加抽象的思想图式,它就是中国太极图 (见附图) 。它抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质——阴与阳和它们的统一,这就是古老的中国理念“道” 和“易”。“知其白,守其黑,为天下式,常德不忒,复归于无极。”(老子:第二十八章) 太极图和老子的这段话的对应性令人惊叹,这不是图形和语言的牵强附会,而是理念的一致。莫比乌斯带和克莱因瓶表现了阴阳的流变统一过程,但却没有产生表达这种思想理念的结果,因为西方哲学中缺少这种理念,中国哲学有这种超越的思想理念,但是没有清晰的表达方法,因为中国古代缺少充分发展的几何学,只能用简单的图式表达最透彻的哲学思想,这不是图式的神秘,而是思想自身所具有的透视性的深邃性。借助于莫比乌斯带和克莱因瓶,太极图所包含的哲学思想可以被更形象地表示出来,而借助于中国思想的理念,几何学的原理可以得到更深刻的认识,比如对一些近代几何的概念如非欧几何、射影几何、变换群等等,都可以有较好的理解,甚至对一些复杂的数学物理思想如物理空间等都可以有助于理解,实际上有一些在现代科学最前沿探索的学者都自觉地从中国思想理念中寻找启示,如浑沌理论,非线性理论等等,或许中国思想将给予我们更深刻的东西。

 

  中国的道的思想是自身变易的,表现为一切事物的阴阳相对性质和阴与阳的超越互生上,从克莱因瓶的形象可以看到以阳入阴和阴中生阳的流变过程,从每一个局部看,阴阳是明显对立的,但从全体看,则没有阴阳的分别,而是合一的统一。所以中国思想的理念不是固化的美的形式,而是形式流变的自身,形式流变的的固化就是它的死亡,它是流变的美自身,因此太极图也不是美的形式,虽然从图形上看它也是美的,它蕴含的是变化的美, 流动的美,是思想的美,因此也就是美的自身,在这个意义上美与善是自身的同一。中国的文化精神充满了自身的和谐统一,人与天是世间最综合的阴阳事物,"天人合一"正是这样一种世间所有事物在自身的变易中超越统一的理念。阴阳之道不是绝对对立的,中国思想也不是二元对立的,而是自身生生不息的超越统一。

 

  真理毕竟是以知识表达的,柏拉图的知识学说其实不是关于事物的性质与关系的具体知识,而是关于思想与理念的关系的见解,这是很多人误解他的知识回忆说的原因。柏拉图所说的回忆其实就是指思想,理念是超验的存在,它不能被感觉到,也不能被肉眼看到,只有思想(回忆)才能接近它,因此在他看来,知识就是对理念的回忆,我们完全可以理解工匠在制造一张床的时候是按照他思想中 (回忆) 的理念进行的,这一点也不奇怪。所以理念虽然是超验的,但思想可以接近它,柏拉图的回忆就是这样一个思想接近理念的过程。理念作为真理的知识是无法最终地把握的,苏格拉底的形象是承认自己是无知的辩论者,他的真正的意思是说没有最终的知识,而只有对知识的追求,辩论和对话就是这样一个双方一起探求真知识的过程,因此虽然绝对的知识即理念是达不到的,但在对理念的追求中人们可以分享到理念的阳光,柏拉图著名的洞穴比喻的真意义正是在这里。苏格拉底的辩论和柏拉图的对话也就是这样一个无限接近真理的过程。

 

  在中国哲学中, 道的理念表现在世间事物的全体上,阴和阳就是绝对的事物性质,但不是绝对的事物,因此它不是超验的存在,它实现自己在一切事物上,但唯独没有自己的绝对形式——“大相无形”,在任何具体的,局部的事物上都有阴与阳的对立,但没有绝对的单阴与单阳的存在,它在对立的超越中存在,它因变易而永生,人们在思想中把握它,太极图和八卦图就是思想的路标或思想的范式,这是中国哲学即中国思想最本质的特征。当然作为人类对事物的知识,它有自己的发生、学习、积累的 消化的过程,这是知识在发展和积累中的更新,即知识自身的变易,这才是真正的知识自身——真理,孔子说:“笃信好学,守死善道。”(论语:泰伯) 正是在不断的学习和追求中才能得道和守道。老子强调柔弱、虚静、无争、溪谷等思想,这是指静态中的流变,是“知其雄”而“守其雌”, 是孕育中的新生,克莱因瓶的的主

 

  体也是阴包阳的瓶(杯)形,没有阴,阳无从可生,但阳一但产生,阴就不是昔日之阴了,因此形式的流不是反复旧形式的循环,而是无时不在的更新,但是克莱因瓶作为一种固化了的形式表现不了这一种更高的理念,它只是流变形式死亡的躯壳,因此从西方传统思想模式出发无法理解莫经乌斯带简单中的神秘,更不会导至更高层次的的流变中的更新理念,但是更加抽象的太极图却能指导人的思想活化它们,从思想中看到它的流动和更新,这是“大象无形”的变易,是“无为而无不为”把握和孕育,是“中庸”的包容、信念、等待与希望,这些伟大的思想都充分反映在中国古老的文化观念中:道的超越,易的永恒,“汤之盘铭:荀日新,日日新,又日新。”(大学)中国思想因自身彻底的超越精神而崇高,这种美常常使人感到内心的颤栗。

 

  从上面的分析可以看到,虽然西方哲学和中国哲学有着明显的不同,但作为哲学思想却有着互补的同一性,这首先充分地表现在莫比乌斯带、克来因瓶与太极图的一致性上,从欧氏几何学的角度来看一个平面的两面性 (阴与阳)是没区分的意义的,但如果这个面是自身流变的,它就表现出阴阳的两面属性,而这种对立在流变又成为一致,这是形式理念的与中国思想一致;另一方面,任何具体的事物都具有普遍的差别性和对立性,也即阴和阳,但世界并不因此分裂而毁灭,世界在自身的变易中成为道的和谐,道在世间一切事物上表现的在超越中的和谐是道自身的绝对和永恒,这是中国思想与西方理念的一致。这两者就是互补一致的中西思想。只有在这种更高的层次上,我们才能更深刻地领会整个人类文化的意义。

 

克莱因瓶的制造

  事实上,德国数学家克莱因就曾提出了“不可能”设想,即拓扑学的大怪物——克莱因瓶。这种瓶子根本没有内、外之之分,无论从什么地方穿透曲面,到达之处依然在瓶的外面,所以,它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。 尽管现代玻璃工业已经发展得非常先进,但是,所谓的“克莱因瓶”却始终是大数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”,根本制造不出来。许多国家的数学家老是想造它一个出来,作为献给国际数学家大会的礼物。然而,等待他们的是一个失败接着一个失败。也有人认为,即使造不出玻璃制品,能造出一个纸模型也不错呀。如果真的解决了这个问题,那可是个大收获啊!但实际上,克莱因瓶已经被人制造出来了。在郭凯声等编著的《数学游戏(下)》一书的“玻璃克莱因瓶”一文中有清楚的介绍。兹引录部分如下:“Alan Bennett是英国贝德福德的一位玻璃吹制工。几年前,他开始对拓扑学中出现的各种神秘的形状――麦比乌斯带、克莱因瓶等等――发生兴趣,并遇到了一个新奇的难题,数学家本会通过计算来尝试解决这个难题,而Bennett则用玻璃解决了它。他做出的一系列引人注目的物品很快就将成为伦敦科学博物馆中的一项永久性陈列品。”

 

  克莱因瓶在三维空间中是不可能的,如果非要在三维中要做到完美的克莱因瓶,那它穿过自己的那段就是一个“虫洞”,而加上这个连接瓶颈和瓶底的虫洞,那它就成四维的了,所以说克莱因瓶是不可能在三维中实现的。

 

克莱因瓶的一些应用猜想

  如果麦比乌斯带能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话,克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。因为在制作麦比乌斯带的过程中,我们要对纸带进行180度翻转再首尾相连,这就是一个三维空间下的操作。理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”应该是在二维面中,朝任意方向前进都可以回到原点的模型,而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进,但是只有在两个特定的方向上才会回到原点,并且只有在其中一个方向上,回到原点之前会经过一个“逆向原点”,真正理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”也应该是在二维面上朝任何方向前进,都会先经过一次“逆向原点”,再回到原点。而制作这个模型,则需要在四维空间上对三维模型进行扭曲。数学中有一个重要分支叫“拓扑学”,主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的,克莱因瓶和麦比乌斯带变成了拓扑学中最有趣的问题之一。麦比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑,艺术,工业生产中。

 

克莱因瓶的发明人介绍

  菲利克斯·克莱因 克莱因在杜塞尔多夫读的中学,毕业后,他考入了波恩大学学习数学和物理。他本来是想成为一位物理学家,但是数学教授普律克改变了他的主意。1868年克莱因在普律克教授的指导下完成了博士论文

 

  

 

  在这一年里,普律克教授去世了,留下了未完成的几何基础课题。克莱因是完成这一任务的最佳人选。后来克莱因又去服了兵役。1871年,克莱因接受哥廷根大学的邀请担任数学讲师。1872年他又被埃尔朗根大学聘任为数学教授,这时他只有23岁。1875年他在慕尼黑高等技术学院取得了一个教席。在这里,他的学生包括胡尔维茨、冯戴克、洛恩、普朗克、毕安奇和里奇。五年之后,克莱因应邀去莱比锡大学讲授几何学。在这里他和他过去的出色的学生冯戴克、洛恩、司徒迪和恩格尔等成为了同事。

 

  1886年,克莱因接受了哥廷根大学的邀请来到哥廷根,开始了他的数学家的生涯。他讲授的课程非常广泛,主要是在数学和物理之间的交叉课题,如力学和势论。他在这里直到1913年退休。他实现了要重建哥廷根大学作为世界数学研究的重要中心的愿望。 著名的数学杂志《数学年刊》就是在克莱因的主持管理下才能在重要性上达到和超过了《克莱尔杂志》的。这本杂志在复分析、代数几何和不变量理论方面很有特色。在实分析和群论新领域也很出色。

 

  要了解克莱因对在几何学上所作的贡献的特点是有点难的,因为即使用我们今天数学思想的大部分来理解他的结果的新奇之处也是很困难的。

 

  克莱因在数学上做出的第一个贡献是在1870年与李合作发现的。他们发现了库默尔面上曲线的渐近线的基本性质。他进一步地与李合作研究W-曲线。1871年克莱因出版了两篇有关非欧几何的论文,论文中证明了如果欧氏几何是相容的,那么非欧几何也是相容的。这就把非欧几何置于与欧氏几何同样坚实的基础之上。

 

  克莱因在他的著名的埃尔朗根纲领中,以变换群的观点综合了各种几何的不变量及其空间特性,以此为标准来分类,从而统一了几何学。今天这些观点已经成为大家的标准。变换在现代数学中扮演者主要角色。克莱因指明了如何用变换群来表达几何的基本特性的方法。

 

  而克莱因自己认为他对数学的贡献主要在函数理论上。1882年他在一篇论文中用几何方法来处理函数理论并把势论与保形映射联系起来。他也经常把物理概念用在函数理论上,特别是流体力学。

 

  克莱因对大于四次的方程特别是用超越方法来解五次的一般方程感兴趣。在厄尔米特和克隆耐克尔建立了与布里奥斯奇类似的方法之后,克莱因立刻就用二十面体群去试图完全解决这个问题。这个工作导致他在一系列论文中对椭圆模函数的研究。

 

  1884年,克莱因在他的一本关于二十面体的重要著作中,得到了一种连接代数与几何的重要关系,他发展了自守函数论。他和一位来自莱比锡的数学家罗伯特·弗里克合作出版了一套四卷本的关于自守函数和椭圆模函数的著作,这本著作影响以后20年。另一个计划是出版一套数学百科全书。他积极地参与到这个工作中,与K·穆勒一起编辑力学部分的四卷。我们还要提到克莱因发现的克莱因瓶,一种只有一个面的曲面。

 

  1885年克莱因被英国皇家学会选为国外会员并被授予科普勒奖金。

 

  1908年克莱因被国际数学会选为在罗马召开的数学家大会主席。

 

 

 
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