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函数概念的演化
发布日期:2011-5-5 7:21:50
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函数概念的演化:简单一瞥 Israel Kleiner 大学数学学报: 1989年9月 第20卷 第4期 282-300 Israel Kleiner在麦吉尔大学获得环理论方向的博士学位,并一直在纽约大学已有二十多年。他一直参与本科生和研究生的教师培训工作,并给多次与高中生和教师讲座交流。他的一个主要兴趣是数学史及其在数学教育方面的应用。 导言:函数概念的演化可追溯到4000年;其中包括前面3700年的思想酝酿,最近300年的演化则与微积分和分析问题密切联系。事实上,函数概念显示“现代” 数学对“经典”数学的特征区别。W. L. Schaaf逐步说明这些变化: 西方文化的主旨是函数概念,这个概念对任何早先的文化甚至没有细微的暗示。并且函数的概念不是前面概念的延伸或修补,而是这些概念中内涵的彻底释放。函数概念的演变可以被看作是激烈竞争的两个要素,两个智力图像:几何(曲线的表达形式)和代数(公式表达形式,开始是有限,后来允许无限多项,所谓的“解析表达式” )。然后,第三个要素出现,即函数的“逻辑”定义作为函数对应(智力图像的输入-输出设备)。随着这一发展,函数的几何内涵正在逐步被放弃。一种新的激烈竞争很快(是,一种或另一种形式,在今天仍然存在)在新的“逻辑”概念(“抽象的”,“合成的”,“ 假设”)和旧的“代数”概念(“具体”,“解析”,“建设性”)之间开始进行。 在本文中,我们将详细阐述这些观点,并试图让读者意识到函数概念演化过程中遇到的活力和挑战,那就是最优秀的数学家花时间要解决的基本概念,而这些概念现在却司空见惯的被接受了。 1. 微积分之前的发展。尽管函数的隐含表现可追溯到大约公元前2000年,但函数概念的明确的形式直到十八世纪初才出现,函数概念没有出现的主要原因是: •缺乏先决的代数条件-伴随实数连续统出现的术语和后来的符号记法; •缺乏动力。为什么要定义一个抽象的函数符号,除非有许多例子从中体会到抽象? 在大约在二百年(约公元1650至1450年)的过程中,出现了一些发展,这些是函数概念崛起的基础: •将数的概念扩展到实数(在某种程度上)甚至复数(Bombelli,Stifel等) •建立代数符号系统(Viète, Descartes,等) ; •运动的研究是科学的核心问题(开普勒,伽利略等。) ; •代数和几何的婚姻结合(费马,笛卡尔等。) 。 17世纪见证了现代科学的数学化和解析几何的发现。这两项进展表明动态的,连续的函数关系观点与古代静态的、离散的函数观点的变化。 在代数与几何的结合过程中,一个关键因素是引入变量和利用方程表达变量之间的相互关系。后者提供了大量的可进行研究的曲线实例(潜力的函数)并确定了函数概念引入的最后阶段。所缺乏的是确定一个方程中的自变量和因变量: 变量不是函数,函数概念意味着 “自变量”和“因变量” 的单向关系。当变量出现在数学或物理的问题时,不必有这样的角色分工。只要没有特殊的作用赋予涉及的变量,变量仅表示简单变量,变量就不是函数。 由牛顿和莱布尼茨发展的微积分不是今天学生看到的形式。特别的,它不是一种函数的演算。在17世纪,微积分的主要研究对象是(几何)曲线(例如,几何中的摆线在广泛的研究之前被作为一个方程对待)。事实上,17世纪的分析,最初是作为一种综合的方法去解决关于曲线的问题,例如找到曲线的切线,曲线围成的面积,曲线的长度,和曲线上移动质点的速度问题。由于这些微积分问题的来源是几何和自然界的运动,并且牛顿和莱布尼兹分别忙于利用他们所创造的神奇的工具,微积分被重新写成代数形式需要时间和反复思考。 与曲线相关的变量具有几何特性-横坐标,纵坐标,次切线 ,次法线和曲线的曲率半径。在1692年,莱布尼茨引入单词“函数”来指定一个与曲线相关的几何对象。例如,莱布尼茨断言, “切线是一个曲线的函数” 。 牛顿的“流数方法”应用于“变数”不是函数。牛顿称他的变量是一个曲线上“流动”点的“变数”-几何形式(如莱布尼茨)是图形。牛顿对于函数概念发展的重大贡献是幂级数的利用。这些在以后的概念形成十分重要。 正在逐渐强调有关曲线的函数与公式和方程的关系,注意力集中在公式和方程中出现的符号作用,这些符号之间的关系,以及独立于原有曲线的特性。莱布尼茨与伯努利之间(1694年至1698年)的来往信件讨论,十分缺乏一个专门术语来表达公式和方程中一个数量依赖于其他的数量的关系,这导致1718年在伯努利给出的函数定义。 这里称为一个变量的函数是一个形式的数量无论任何形式是变量还是常量。 这是首次正式函数的定义,但伯努利没有解释“以任何方式形式”的具体意思。 2 .欧拉引入的无穷小在18世纪的前半期,我们目睹了17世纪的分析与其来源和几何背景逐步分离。在这“ 去几何的分析”进程中看到了变量的概念替换,将几何物体作为一个代数公式的函数概念。这种趋势体现在1748年欧拉的经典著作无穷小分析引论,作为微积分研究需要的在分析与解析几何概念和方法的准备。 欧拉的引论是第一个将函数概念放在明确和核心位置的工作。在序言中,欧拉声称,数学分析是关于变量及其函数的科学。他首次定义函数是一个“解析表达” (即“公式”): 一个变化量的函数是一个解析表达式,它包含该变量的方式可以由数量和数值或常数所组成。 欧拉没有定义“解析表达式” ,但试图说明其含义,他解释说 “解析表达式”涉及四个代数运算,根,指数,对数,三角函数,微分和积分。他把函数分为代数或超越;单值或多值和隐函数或明确函数。该引论最早将三角函数定义为的数值比,并且最早的算法处理对数的指数。整个方法是代数。没有一个图片或绘图出现。 在这些论述中,函数的幂级数展开发挥着核心作用。事实上,欧拉声称任何函数可展开成幂级数: “如果有人怀疑这一点,这个疑问将被每个函数的展开来回答”。这个备注完全符合18世纪的数学精神。 霍金斯总结了欧拉对函数这个重要概念在数学中出现的贡献: 尽管函数的概念不是起源于欧拉,但他是第一个用标准的函数理论处理微积分内容。 我们将看到,欧拉关于的函数的看法发展迅速。 3 . 弦振动的争议。在后面函数概念的演变过程,至关重要的是弦振动问题: 一个端点固定的弹性弦,初始形状给定后,释放后开始振动变形。问题是确定任意时刻弦振动的形状函数。 反复争议的核心是函数的含义。事实上,Grattan-Guinness指出,争议中有各种解决问题的方法,“整个的十八世纪的分析都在讨论:函数的理论,代数的作用,实直线的连续统和级数的收敛性… ”。 为理解围绕弦振动问题的争论,我们必须首先提到18世纪数学的一篇“文章的信念”: 如果两个解析表达式在区间上相同,他们在各个地方都一致。 这不是一个自然的假设,在那个年代已经确定了函数的类型(解析表达式)。在这个观点上,解析表达式确定的曲线其整体性质取决于任何小部分的特性。这含蓄地暗示,解析表达式中自变量在整个实数范围内没有任何限制。 鉴于这种情况,早在1744年这是令人(我们)费解的,欧拉写信给哥德巴赫 说明 在这里,确实是一个包含解析表达式的例子,表达式在区间内完全一致,但在其他地方却不成立: 欧拉肯定已经认识到这一点,“这不是欧拉知道的唯一与他的观念不一致的实例,但他可能认为这是与一般规则不同的个别情形”。 在1747年,当运动是由偏微分方程描述时,达朗贝尔解决了弦振动问题, 这就是波动方程( 是一个常数)。利用边界条件 , 和初始条件 , ,他解决了这个偏微分方程,并且得到弦振动问题的通解 ,其中 是一个“任意函数” 。容易得到 , , 并且 和 因此,当 ,函数 由初始条件确定,并且是一个以 为周期的奇周期函数(根据文章的信念)。 达朗贝尔认为函数 (同样 )必须是一个“解析表达式” ,也就是说,它必须用一个公式给出。(对达朗贝尔,这些是唯一允许的函数。)此外,由于这一解析表达式满足波动方程,它必须是二次可微分。 在1748年,欧拉写了一篇论文讨论同样的问题,他完全同意达朗贝尔关于解的分析,但不同于他的解释。欧拉争辩说,达朗贝尔的解不是他后面声称的“最一般解”。在数学上自己解决这个问题后,欧拉声称他的实验表明,对不同的t时刻,解 给出弦的形状,即使初始形状不是单一的公式。从物理因素考虑,欧拉认为弦的初始形态可以是:(a)在 的不同部分区间给出几个不同解析表达式(例如 的不同部分区间给出不同的圆弧半径)。或更一般地说,( b )任意画出的曲线。但根据“文章的信念”,当时流行的是:上述两类初始形状都不能给出一个解析表达式,因为这种确定整个曲线形状的表达式由任意小区间的性质确定,而不管这个区间多么小。因此,达朗贝尔的解不是最一般的通解。 欧拉称函数类型( a )和( b ) “不连续”,保留了单一的解析表达式函数的“连续”。(因此,他认为双曲线的两个分支是一个单一的连续函数!)这个“连续”的概念一直持续到1821年,直到柯西给出了现在使用的定义。达朗贝尔,对数学中的弦振动问题没有多少兴趣,声称欧拉论点是“反对所有的分析规则。”(欧拉认为,允许将一些分析的运算应用到任意曲线)。兰格用一般的数学方法解释了欧拉和达朗贝尔关于弦振动问题方面的不同观点: 欧拉是一个富有想象力的人。他期待在很大程度上以实际考虑和物理直觉,再加上惊人的创造力作为指导,在数学公式和运算方面的结果几乎清晰准确。达朗贝尔是一个有争议的人物,更容易受形式主义者怀疑其正确性 。他有无可挑剔的完整的科学素质,他承认他从未有意掩盖缺点,不管是自己的工作或他人。 在1753年,由于给出弦振动问题的另外一个解,丹尼尔-伯努利参加了争论。伯努利基本上是一个物理学家,他以弦振动问题的物理背景和有关乐器的振动现象(早先由拉摩等发现。)为基础。那时人们普遍认识到,乐器的声响(特别是乐器弦的振动)由基本频率及其谐波陪音所组成。这些物理证据和一些“不严谨的”数学推理,让伯努利相信弦振动问题的解,由下面公式确定: 当然,这意味着区间 上的任意一个函数 可以表示为正弦级数 (伯努利的唯一的兴趣是解决物理问题,他并没有给出函数的定义。他的一个“任意函数”意思是“任意形状”的弦振动。 ) 欧拉和达朗贝尔(以及其他那个时期的数学家)发现伯努利的解决方案是荒谬的。依靠18世纪的“文章的信念” ,他们认为既然函数 和正弦级数 在 内相等成立,他们必须在任何地方都成立。但是,人们又得到明显荒谬的结论,即一个“任意”函数 是奇的周期函数。(由于伯努利给出的初始弦形状是一个解析表达式,欧拉拒绝将伯努利的解作为一般的通解。)伯努利反驳说达朗贝尔和欧拉的解构成“美妙的数学,但这些与弦振动有什么关系呢?”。 欧拉,不是达朗贝尔的 “分析规则”将让他承认,例如,曲线三角形∆可作为弦振动的初始形状。欧拉认为可以改变曲线“顶端”处的无穷小量使得曲线形状“光滑”。由于无穷小的变化在分析中可以被忽略,所以这对问题的解不会有任何影响。 这个辩论持续了好几年(后来拉格朗日也加入了) ,然后没有解决就终止了。 Ravetz描绘了争论的本质,当一个人处于达朗贝尔的数学世界、伯努利的物理世界和两者之间欧拉的“无人地带”。然而,辩论确实有一个重要的结果-函数概念的演化。其主要作用是扩展函数概念,主要包括: (a)首次定义,不同的区间内用不同解析表达式的分段函数。 (第一次被认为是一个真正的函数。) (b)手画的函数有可能不是任何解析表达式的组合。 正如Lützen指出的那样: 达朗贝尔让函数的概念限制在可能的初始值,而欧拉将各类初始值扩展到函数概念。我们因此看到函数概念的扩展是物理问题强迫欧拉完成的。 看看欧拉在几年时间里自己的函数观点的演变,比较他在1748年引言给的函数定义和在1755年的定义,其中的“解析表达式”没有出现: 然而,如果一些数量以一定方式依赖于其他数量,如果是后者的改变经历了前者的变化,前面的变量称为后者变量的函数。这是一个非常全面的观念,包括自身的所有的方式,并且通过其中的一个变量来确定其他变量。因此,如果X表示一个变量,则所有以任何方式取决于X的变量或者由它确定的都称为函数… 在以后一个世纪关于偏微分方程的研究工作中,欧拉关于函数的观点得到了加强。 蒙赫在1770年的工作中,全面给出偏微分方程的几何解释,似乎提供了确凿的事实证据,比方程更具一般表达式的函数是一个合法的数学对象。 4 .傅立叶和傅立叶级数。傅立叶关于热传导的工作(1807年提交给巴黎科学院,在1822年出版在他的经典著作热的解析理论)在函数概念的发展过程中是革命性的一步。傅立叶在1822年的主要结果是: 定理:任何定义在(-l,l)中的函数f(x)可以通过该区间上的正弦级数和余弦级数来表达 ,其中系数 和 由下式给出 , 傅立叶宣布这一有怀疑的结果。它打破了18世纪的几个数学原则。若限制在某些函数,其结果对于欧拉和拉格朗日(除其他人外)是已知的。当然,傅立叶声称结论对于所有函数都成立,其中的术语“函数”给予常见的现代解释: 一般来说,函数 表示一系列任意的数值或坐标,给横坐标x无穷多个数值,对应同样多的纵坐标 ,所有对应都有实际的数值,无论是正的、负的或零。我们不要求这些坐标必须遵守一个共同的法则;他们无论以任何方式对应,只要有一个数值都给出对应的变量。 即使以早期19世纪为标准,傅立叶定理的“证明”是不严密的,事实上,它包含18世纪形式主义的精神,“建立在公认规则上的符号演算,但没有多少或任何方面的内容或意义”。为了让难说服的数学团体相信结论的合理性,傅立叶需要证明: (a)对于任意的f(x),傅里叶级数系数都可以计算出来 (b)任何函数f(x),都可以表示成(-l,l)内的傅立叶级数 他这样证明这一点: (c)在傅里叶级数f(x)的扩展中系数 和 作为面积(对于“任意”的函数都有意义,而不必给出解析表达式) (b) 对于各种函数f(x),计算 和 (对于n是小值时),注意是在(-l,l)内(但不包括区间之外的情况)。在傅里叶级数的最初几项的部分和函数值f(x)之间非常接近。 傅立叶完成所有的数学推理,明显不能被我们今天所接受。但是, 毫无疑问,一部分原因是由于他仅利用概念上的延伸,而非常无视严谨,这是有争议的天才不可能具有的特点 。 傅里叶的工作提出了函数的解析(代数)表达式,至少与几何表示(作为曲线)具有同样的地位 。他的工作在以后的数学发展产生基础和深远的影响。(例如,他让数学家被迫重新审视积分的概念,这是导致康托尔创造的集合论研究的起点)至于他对函数概念演变的影响,傅立叶的工作: •废除了18世纪的数学家崇拜的“文章的信念”。 (这样,现在已经清楚地表明,由两个不同的解析表达式确定的函数可以在同一区间内一致,在区间外面则不需要相同。) (傅里叶首先提出级数的收敛性问题,这是18世纪的数学家很少关注的现象。) •证明了欧拉“间断”的概念的是有缺陷的。(一些欧拉间断函数证明可以被表示成傅立叶级数,一种解析表达式,但在欧拉的意义上是连续的。) •再次强调了解析表达式。 下面我们将看到,这一切给了函数概念新评价。正如我们已经指出,1720年至1820年期间的特点是发展和开拓了17世纪遗留的微积分工具。这些工具被用于解决重要的“实际”的问题(例如弦振动问题,热传导问题)。反过来,这些问题要求注意重要的“理论”概念(例如,函数,连续性,收敛性)。一个新的学科-分析-逐渐形成,其中函数的概念是分析课程的中心内容。但分析课程和函数概念仍在初始阶段。在分析课程的“形式主义”阶段,正式的运算决定“游戏规则”,忽略严谨的细节。函数的概念是一个流动的状态-一个解析表达式(一个“任意”公式),然后是曲线(任意草图),然后再次是解析表达式(但是这一次是“特殊”的公式,即傅立叶函数)。分析内容(当然它的基础是概念)和函数概念都已经得到重新评价和重新书写。这就是我们发展中的下一阶段。 5 狄利克雷的函数概念. 狄利克雷是迎接19世纪数学的具有批判精神的早期代表人物(其他还有高斯,阿贝尔,柯西)。他对于傅里叶的工作进行了仔细分析,给予数学界的尊敬。这项任务并不简单: 为了理解了他[傅里叶]所做的工作花费了有“超级批评天才” )素质的人一个世纪的努力,但最后仍没有完全理解 。 傅里叶的结论:任何函数都可以表达成傅里叶级数,当然是不确切的。在1829年的一篇开创行文章中,狄利克雷给出了充分的条件,描述为: 定理:如果一个函数f(x)在 中有有限个不连续性和有限个极大和极小值,那么f(x)可表示成 上的傅里叶级数。(当f是连续时,傅里叶级数是收敛于f(x)的每一个X点,不连续时,收敛于 。) 对于这个结论在数学定理上的严格证明,你需要(a)清楚理解连续性、收敛性、和定积分的概念,和(b)清晰的函数概念。柯西对前者做了贡献,而狄利克雷对后者做了贡献。我们首先非常简短地浏览柯西的贡献。 柯西是第一个将严密运算引入分析的数学家。在他1821年的著名的分析教程和以后的著作中,他用极限概念严格地定义了连续、可微和函数积分等概念。 应当指出的是,严谨的标准在数学方面发生了变化(并非总是从不够严谨到严谨),而且柯西的严谨并不是对于我们现在的严谨。凯切尔表明,柯西严谨的动机是以微积分中傅里叶级数的基本概念为基础。(Bolzano在早期做了大量的工作,但他的工作在五十年后才得到关注。)在处理连续性时,柯西指出他自己对于欧拉的“连续”和“不连续”的概念。他证明函数 (其中欧拉认为是间断的)也可以写成 和 这意味 在欧拉的意义下是连续的。柯西声称,这种自相矛盾的情况,在他的连续性定义被应用后不可能发生。 柯西的函数概念与以前其他人的定义没有本质区别: 当变量以某种方式联系一起时,当其中一个的值给定时,我们可以推断所有的其它值,我们通常假设,这些任意变量被表达为一个变量,称为自变量,而其他的变量,通过自变量方式表达的变量,这是所谓这些变量的函数。 虽然柯西给出了相当广泛的函数定义,他的随后评论认为,他的思想已经有一些局限。他把函数分成“简单”和“复合”函数,“简单函数”是 , , , , , , , , ,复合函数是简单函数的复合,也就是像 这样的。 现在让我们考虑狄里克莱的函数定义: y是变量定义在区间a

 
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